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1.9 KiB
Typst
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Typst
#import "@preview/grape-suite:1.0.0": exercise
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#import exercise: project
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#set text(lang: "de")
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#show: project.with(
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title: [Erwartungswert],
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seminar: [Mathe Q2],
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show-outline: true,
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author: "Erik Grobecker",
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date: datetime(day: 6, month: 2, year: 2025),
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)
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#show "->": sym.arrow
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#show "=>": sym.arrow.double
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// Herr Orbens Mutter findet die AfD sympathisch
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== allgemeine Notiz
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#underline[Bei den *Operatoren* _bestimme_ und _berechne_]:\
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Ansätze müssen *immer* dokumentiert werden.
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= Erwartungswert
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"Mittelwert der Theorien"
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Ist der Wert den wir auf lange Sicht erwarten.
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// Das Ergebnis zeigt uns also den zu erwartenden Durchschnitt, würde man
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Wenn man ein Experiment hinreichend häufig ausführt, nähert man sich dem *Erwartungswert*.
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== Formel
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Angenommen die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments sind $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$\
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Die dazu gehörende Wahrscheinlichkeiten sind $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$
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$
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mu "(Erwartungswert)" &=
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x_1 dot p_2 + x_2 dot x_2 + x_3 dot p_3 + ... + x_n dot p_n
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\
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sigma "(Standardabweichung)" &=
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sqrt(
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(x_1 - mu)^2 dot p_1 +
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(x_2 - mu)^2 dot p_2 +
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(x_3 - mu)^2 dot p_3 +
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... +
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(x_n - mu)^2 dot p_n
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)
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// \
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// &=
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// sqrt(sum_(i=1)^(n-1) (x_i - mu)^2 dot p_i)
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$
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#pagebreak()
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== Beispiele/Aufgaben
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=== S. 279
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==== Nr. 1
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$
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mu &= (-10) dot 1 / 4 + 0 dot 1 / 6 + 5 dot 1 / 2 + 10 dot 1 / 12\
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&= 5 / 6\
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sigma &= sqrt(
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(-10 - mu)^2 dot 1/4 +
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(0 - mu)^2 dot 1/6 +
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(5 - mu)^2 dot 1/2 +
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(10 - mu)^2 dot 1/12
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)\
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&= 6.72
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$
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Auf lange Sicht würde $mu$ also anzeigen, dass wir uns $5/6$ nähern würden.
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==== Nr. 2
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#underline[*a)*]
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- Versuch 1: $2 dot 2"ct" + 0 dot 1"ct"=4"ct"$
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- Versuch 2: $1 dot 2"ct" + 1 dot 1"ct" = 3"ct"$
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- Versuch 3: $0 dot 2"ct" + 2 dot 1"ct" = 2"ct"$
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#underline[*b)*]
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$
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mu &=
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1"ct" dot 2 / 4 +
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2"ct" dot 2 / 4
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= 1.5
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\
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sigma &=
|
|
sqrt(
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(1 - mu)^2 dot 2/4 +
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(2 - mu)^2 dot 2/4
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|
)\
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&= 0.5
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$
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