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Funktionsuntersuchung

Die Funktionsuntersuchung dient dazu, den Verlauf und die Eigenschaften einer gegebenen Funktion f(x) zu analysieren und zu beschreiben. Typische Aspekte einer Funktionsuntersuchung sind:

1. Definitionsmenge (D): Bestimmung aller erlaubten x-Werte, für die die Funktion definiert ist.

   • Beispiel: f(x) = \frac{1}{x-2} hat die Definitionsmenge D = \mathbb{R} \setminus \{2\}, da der Nenner nicht Null sein darf.

2. Wertebereich (W): Bestimmung aller möglichen y-Werte, die die Funktion annehmen kann.

   • Beispiel: f(x) = x^2 hat den Wertebereich W = [0, \infty), da Quadrate immer nicht-negativ sind.

3. Symmetrie:

   • Achsensymmetrie zur y-Achse: Wenn f(-x) = f(x) für alle x \in D.
     • Beispiel: f(x) = x^2 ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
   • Punktsymmetrie zum Ursprung: Wenn f(-x) = -f(x) für alle x \in D.
     • Beispiel: f(x) = x^3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

4. Nullstellen: Bestimmung der x-Werte, für die f(x) = 0 gilt.

   • Beispiel: f(x) = x^2 - 4. Nullstellen: x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2

5. Schnittpunkte mit der y-Achse: Berechnung von f(0).

   • Beispiel: f(x) = x^2 - 4. Schnittpunkt mit y-Achse: f(0) = 0^2 - 4 = -4 \Rightarrow S_y(0, -4)

6. Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte): Untersuchung, was mit f(x) passiert, wenn x gegen \infty oder -\infty geht.

   • Beispiel: f(x) = \frac{1}{x}. \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 und \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0

7. Monotonie: Bestimmung der Intervalle, in denen die Funktion steigt oder fällt.

   • Monoton steigend: Wenn f'(x) > 0.
   • Monoton fallend: Wenn f'(x) < 0.
   • Beispiel: f(x) = x^3. f'(x) = 3x^2 > 0 für x \neq 0. Also ist f(x) streng monoton steigend.

8. Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte):

   • Notwendige Bedingung: f'(x) = 0.
   • Hinreichende Bedingung:
     • Hochpunkt: f'(x_0) = 0 und f''(x_0) < 0.
     • Tiefpunkt: f'(x_0) = 0 und f''(x_0) > 0.
   • Beispiel: f(x) = x^2 - 4. f'(x) = 2x. f'(x) = 0 \Rightarrow x=0. f''(x) = 2 > 0. Also hat f(x) einen Tiefpunkt bei T(0, -4).

9. Krümmungsverhalten:

   • Konvex (Linkskrümmung): Wenn f''(x) > 0.
   • Konkav (Rechtskrümmung): Wenn f''(x) < 0.
   • Beispiel: f(x) = x^3. f''(x) = 6x. Für x>0 ist f(x) konvex, für x<0 ist f(x) konkav.

10. Wendepunkte: Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert.

    • Notwendige Bedingung: f''(x) = 0.
    • Hinreichende Bedingung: f'''(x) \neq 0.
    • Beispiel: f(x) = x^3. f''(x) = 6x. f''(x) = 0 \Rightarrow x = 0. f'''(x) = 6 \neq 0. Also hat f(x) einen Wendepunkt bei W(0, 0).

11. Skizze des Graphen: Zeichnen des Funktionsgraphen basierend auf den gewonnenen Informationen.

Beispiel einer vollständigen Funktionsuntersuchung:

Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

1. Definitionsmenge: D = \mathbb{R} (Polynomfunktion)
2. Wertebereich: W = \mathbb{R}
3. Symmetrie: Keine offensichtliche Symmetrie.
4. Nullstellen: x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow x(x-1)(x-2) = 0. Nullstellen: x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 2
5. Schnittpunkt mit y-Achse: f(0) = 0. S_y(0,0)
6. Verhalten im Unendlichen: \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
7. Monotonie: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.
   • f'(x) > 0 für x < 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} und x > 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} (monoton steigend)
   • f'(x) < 0 für 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} < x < 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} (monoton fallend)
8. Extrempunkte: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0.
   • Lösungen: x_{1,2} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.
     • Hochpunkt bei ca. (0.42, 0.38)
     • Tiefpunkt bei ca. (1.58, -0.38)
9. Krümmungsverhalten: f''(x) = 6x - 6.
   • f''(x) > 0 für x > 1 (konvex)
   • f''(x) < 0 für x < 1 (konkav)
10. Wendepunkt: f''(x) = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1. Wendepunkt W(1, 0)
11. Skizze: (Hier würde eine Skizze des Graphen folgen, die die obigen Informationen berücksichtigt)