160 lines
3 KiB
Typst
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Typst
#import "@preview/grape-suite:2.0.0": exercise
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#import exercise: project
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#set text(lang: "de")
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#show: project.with(
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title: [Erwartungswert],
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seminar: [Mathe Q2],
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show-outline: true,
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author: "Erik Grobecker",
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date: datetime(day: 6, month: 2, year: 2025),
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)
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#show "->": sym.arrow
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#show "=>": sym.arrow.double
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// Herr Orbens Mutter findet die AfD sympathisch
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== allgemeine Notiz
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#underline[Bei den *Operatoren* _bestimme_ und _berechne_]:\
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Ansätze müssen *immer* dokumentiert werden.
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= Erwartungswert
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"Mittelwert der Theorien"
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Ist der Wert den wir auf lange Sicht erwarten.
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// Das Ergebnis zeigt uns also den zu erwartenden Durchschnitt, würde man
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Wenn man ein Experiment hinreichend häufig ausführt, nähert man sich dem *Erwartungswert*.
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== Formel
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Angenommen die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments sind $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$\
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Die dazu gehörende Wahrscheinlichkeiten sind $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$
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$
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mu "(Erwartungswert)" &=
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x_1 dot p_2 + x_2 dot x_2 + x_3 dot p_3 + ... + x_n dot p_n
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\
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sigma "(Standardabweichung)" &=
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sqrt(
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(x_1 - mu)^2 dot p_1 +
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(x_2 - mu)^2 dot p_2 +
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(x_3 - mu)^2 dot p_3 +
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... +
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(x_n - mu)^2 dot p_n
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)
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// \
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// &=
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// sqrt(sum_(i=1)^(n-1) (x_i - mu)^2 dot p_i)
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$
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#pagebreak()
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== Beispiele/Aufgaben
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=== S. 279
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==== Nr. 1
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$
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mu &= (-10) dot 1 / 4 + 0 dot 1 / 6 + 5 dot 1 / 2 + 10 dot 1 / 12\
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&= 5 / 6\
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sigma &= sqrt(
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(-10 - mu)^2 dot 1/4 +
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(0 - mu)^2 dot 1/6 +
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(5 - mu)^2 dot 1/2 +
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(10 - mu)^2 dot 1/12
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)\
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&= 6.72
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$
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Auf lange Sicht würde $mu$ also anzeigen, dass wir uns $5/6$ nähern würden.
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==== Nr. 2
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#underline[*a)*]
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- Versuch 1: $2 dot 2"ct" + 0 dot 1"ct"=4"ct"$
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- Versuch 2: $1 dot 2"ct" + 1 dot 1"ct" = 3"ct"$
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- Versuch 3: $0 dot 2"ct" + 2 dot 1"ct" = 2"ct"$
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#underline[*b)*]
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Diese Lösung ist falsch, da sie nicht alle Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt!
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$
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mu &=
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1"ct" dot 2 / 4 +
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2"ct" dot 2 / 4
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= 1.5
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\
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sigma &=
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|
sqrt(
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(1 - mu)^2 dot 2/4 +
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(2 - mu)^2 dot 2/4
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)\
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&= 0.5
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$
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//TODO: muss Stochastik wiederholen
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// Vorallem die Varianz, welche hier oft verwendet wird
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*Anzahl der $1"ct"$ Münzen:*
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$
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mu &= 1 dot 1/4 +
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$
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==== Nr. 4
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"6 aus 49" -> aus 49 werden 6 gezogen, welche man versucht vorherzusagen
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$
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mu &= 0.734
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\
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sigma &= sqrt(
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(0 - mu)^2 dot 0.436 +
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(1 - mu)^2 dot 0.413 +
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(2 - mu)^2 dot 0.132 +
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(3 - mu)^2 dot 0.0177 +\
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(4 - mu)^2 dot 0.000969 +
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(5 - mu)^2 dot 1.85 dot 10^(-5) +
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(6 - mu)^2 dot 7.15 dot 10^(-8)
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)\
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&= 0.76
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$
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HA: Nr. 4b) + 7
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#pagebreak()
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= Raten mit Zahlen
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#table(
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columns: 5,
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table.header([Punkte:], [0], [1], [2], [3]),
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[], [5], [9], [5], [0]
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)
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#import "@preview/fletcher:0.5.7" as fletcher: diagram, node, edge
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#diagram(
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debug: true,
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node((0,0), [Start]),
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node((-1, 1), [r]),
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edge((0,0), "<-", $1/4$),
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node((1,1), [f]),
|
|
edge((0,0), "<-", $3/4$),
|
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|
node((-2, 2), [r]),
|
|
edge((-1,1), "<-", $1/4$),
|
|
node((-1, 2), [f]),
|
|
|
|
node((-3,3), [r]),
|
|
edge((-2,2), "<-", $1/4$)
|
|
)
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