202 lines
4.3 KiB
Typst
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Typst
#import "@preview/grape-suite:2.0.0": exercise
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#import exercise: project, task, subtask
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#set text(lang: "de")
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#show: project.with(
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title: [Standardabweichung],
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seminar: [Mathe Q2],
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show-outline: true,
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author: "Erik Grobecker",
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date: datetime(day: 27, month: 1, year: 2025),
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)
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#show "->": sym.arrow
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#show "=>": sym.arrow.double
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= Analysis
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== Mittelwert
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Synonym: arithmetisches Mittel, Durchschnitt, $M$
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#figure(table(
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columns: 6,
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rows: 2,
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[1], [2], [3], [4], [5], [6],
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[2], [2], [4], [4], [2], [2],
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), caption: [Beispiel I])
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$
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M=((1dot 2) + (2dot 2)+(3dot 4)+(5dot 2)+(6dot 2))/16=3.5
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$
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Auch die Symmetrie der Tabelle zeigt den Durschnitt (vertikaler Strich in zwischen 3 und 4)
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#figure(table(
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columns: 6,
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rows: 2,
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[1], [2], [3], [4], [5], [6],
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[7], [1], [0], [0], [1], [7],
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|
), caption: [Beispiel II])
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$
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M=((1dot 7)+(2dot 1)+(5dot 1) + (6dot 7))/16 = 3.5
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$
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Auch hier finden wir eine Symmetrie in der Tabelle.
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Das *arithmetischen Mittel* hat die _Stärke_: Das man einen Eindruck über eine Tendenz erhält. Hier wäre das die Notentendenz.\
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Die _Schwäche_ ist: Das man keine genauen Information über Einzelnoten erfährt.\
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Extremwerte beeinflussen einen Mittelwert relativ stark.\
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Dem Mittelwert kann man keine Aussage über die präzise Verteilung entnehmen.
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Eine Alternative würde hier der Median bieten, bei welchem einfach die mittleren Werte genommen werden (hier also 2 und 5).
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#pagebreak()
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== Die Standardabweichung
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bezieht sich auf vorherige Rechnung:\
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$M$: $3.5$\
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$
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n &= "Anzahl der Möglichen Werte"\
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M &= "Durchschnitt"\
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x &= "Spezifischer Wert"\
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y &= "Anzahl des spezifischen Wertes"\
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sigma &= sqrt((x-M)^2 dot y/n)
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$
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$
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I:\
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sigma &= sqrt((1-3.5)^2 dot 2/16 + (2-3.5)^2 dot 2/16 + (3-3.5)^2 dot 4/16 + (4-3.5)^2 dot 4/16 + (5-3.5)^2 dot 2/16 + (6-3.5)^2 dot 2/16 )\
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&= 1.5 \
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I I:\
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sigma &= sqrt((1-3.5)^2 dot 7/16 + (2-3.5)^2 dot 1/16 + (3-3.5)^2 dot 0/16 + (4-3.5)^2 dot 0/16 + (5-3.5)^2 dot 1/16 + (6-3.5)^2 dot 7/16 )\
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&= 2.4
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$
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=> Streuen die Messergebnisse nur gering um den Mittelwert,
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hat man eine kleine Standardabweichung.
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=== allgemeine Formel
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Gegeben: Urliste ($x_1, x_2, x_3, ..., x_n$)\
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#h(1em)-> $n$ ist die Anzahl unserer Elemente in der Urliste
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Mittelwert: $overline(x) = (x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n)/n$
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Standardabweichung:\
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$
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s = sqrt(
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1/n dot (x_1 - overline(x))^2 +
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1/n dot (x_2 - overline(x))^2 +
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... +
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1/n dot (x_n - overline(x))^2
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)
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$
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#v(2.5em)
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$s$ kann durch $sigma$ ersetzt werden,\
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$n$ durch $mu$
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=== Hausaufgabe
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Diese ist S. 274, Nr. 2 & 3 & 7
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==== Nr. 2
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$
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sigma &= sqrt(sum^n_(i=1) (x_1 - mu)^2 dot p_i)\
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$
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$
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mu &= ((0 dot 10%) + (1 dot 20%) + (2 dot 30%) + (3 dot 40%))/(100%) = 2\
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sigma &= sqrt((0-mu)^2 dot 10/100 + (1-mu)^2 dot 20/100 + (2-mu)^2 dot 30/100 + (3-mu)^2 dot 40/100) = 1
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$
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==== Nr. 3
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a)
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$
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mu &= ((1 dot 1) + (2 dot 1) + (3 dot 1))/3 = 1\
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sigma &= sqrt(
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(1 - mu)^2 dot 1/3
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+ (2 - mu)^2 dot 1/3
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+ (3 - mu)^2 dot 1/3
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)\
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&= 1.29
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$
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|
b)
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$
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mu &= ((1 dot 1) + (3 dot 2))/3 = 7/3\
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sigma &= sqrt(
|
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(1 - mu)^2 dot 1/3
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+ (3 - mu)^2 dot 2/3
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)\
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&= 0.94
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$
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|
c)
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$
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mu &= ((-2 dot 1) + (-1 dot 1) + (0 dot 1) + (1 dot 1) + (2 dot 1))/5 = 0\
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sigma &= sqrt(
|
|
(-2 - mu)^2 dot 1/5
|
|
+ (-1 - mu)^2 dot 1/5
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|
+ (0 - mu)^2 dot 1/5
|
|
+ (1 - mu)^2 dot 1/5
|
|
+ (2 - mu)^2 dot 1/5
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)\
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&= 1.41
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$
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==== Nr. 7
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a)
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$
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mu &= ((0 dot 49%) + (2 dot 1%) + (4 dot 1%) + (6 dot 49%))/(100%) = 3\
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|
sigma &= sqrt(
|
|
(0 - mu)^2 dot 49/100
|
|
+ (2 - mu)^2 dot 1/100
|
|
+ (4 - mu)^2 dot 1/100
|
|
+ (6 - mu)^2 dot 49/100
|
|
)\
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&= 2.97
|
|
$
|
|
$
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|
mu &= ((0 dot 1%) + (2 dot 49%) + (4 dot 49%) + (6 dot 1%))/(100%) = 3\
|
|
sigma &= sqrt(
|
|
(0 - mu)^2 dot 1/100
|
|
+ (2 - mu)^2 dot 49/100
|
|
+ (4 - mu)^2 dot 49/100
|
|
+ (6 - mu)^2 dot 1/100
|
|
)\
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&= 1.08
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$
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b)
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Der signifikante Unterschied zwischen beiden Wertetabellen ist, dass bei der ersten, die häufigsten Werten an den Extrema konzentriert sind und in der zweiten, in der Mitte.\
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Wenn man diese als Kurven betrachten würde, wäre die erste Tabelle eine Exponentielle Funktion; und die zweite eine nach unten zeigende Exponentielle Funktion.
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= Exkurs: Summen
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Das Summenzeichen:
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$
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sum_(i=1)^10000 i = x\
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1+2+3+4+5+6+...+10000 = x
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$
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Oder ein weiteres Beispiel:
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#rect(
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$
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sum^40_(x=10) x =10+11+12+...+40=775
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$
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)
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