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#import "@preview/grape-suite:1.0.0": exercise
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#import exercise: project, task, subtask
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#set text(lang: "de")
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#show: project.with(
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title: "Mathe am 28.10.2024",
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seminar: [Mathe Q2],
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show-outline: true,
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author: "Erik Grobecker",
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// date: 28.10.2024,
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show-solutions: false
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)
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#show math.equation: set text(font: "New Computer Modern Math")
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#import "@preview/fletcher:0.5.2" as fletcher: diagram, node, edge
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= Natürliche Exponentialfunktionen
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Wiederholung: $f(x)=2^x$\
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$f(x)=e^x$; #h(1.5em) $e approx 2.71...$
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== S. 105 Nr. 1e) & f)
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*e)*
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$
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f(x)&=2e^x+3x²\
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f'(x)&=2e^x + 6x\
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f''(x)&=2e^x + 6
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$
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*f)*
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$
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f(x)&=-5e^x-0.5x^3\
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f'(x)&=-5e^x-1.5x²\
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f''(x)&=-5e^x + 3x
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$
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== S. 105 Nr. 3c)
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$
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"Hauptsatz der Integralrechnung:"\
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integral^a_b f(x) d x\
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= F(b) - F(a)
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$
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*c)*
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$
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&integral^1_(-1) (x^2+1/5 e^x)d x\
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F(-1)&=(-1)^2+1/5 e^(-1) approx 1.07\
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F(1)&=1^2+1/5 e^(1) approx 1.54 \
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&1.07 - 1.54 approx #eval("1.07 - 1.54")
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$
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Das richtige Ergebniss ist anscheinend $approx 1.14$\
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#text(red)[Ich habe vergessen die Funktion *hochzuleiten*!!!]
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#pagebreak()
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= Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion
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*Übung:* #h(1em) $4 - [x^2] -> 4^2 - underbrace([sqrt(x)], "Umkehrfunktion") ->> 4$ //TODO: könnte sehr viel besser mit fletcher umgesetzt werden
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*Frage:*\
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Wie wird $2^x$ umgekehrt?\
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Mit einem Logarithmus #footnote[$x$ müsste allerdings erst eingesetzt werden] wie: $log_2(2^x)$
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Wie verhält sich dies nun bei $e^x$?\
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→ $log_e (e^x)$ ⇒ auf dem Taschenrechner gibt es dafür die Taste `ln` welche für $log_e$ steht.
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*Merksatz:*\
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Der Logarithmus zur Basis $e$ nennt man auch den natürlichen Logarithmus.\
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Abkürzung: `ln`
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== S. 109 Nr. 1 a) bis d)
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*a)*\
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$
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e^x&=15\
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ln(15) &approx 2.71
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$
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*b)*\
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$
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e^z &= 2.4\
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ln(2.4) &approx 0.88
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$
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$z$ ist ja auch eine Richtung wie $x$
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*c)*\
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$
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e^(2x)&=7\
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ln(sqrt(7)) &approx 0.97
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$
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*d)*\
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$
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3 dot e^(4x) &= 16.2\
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16.2/3 &approx 5.4\
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ln(root(4, 5.4)) &approx 0.42
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$
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= Hausaufgaben
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1. Potenzregelen wiederholen & lernen
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2. S. 109 Nr. 1 d) bis j) machen
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