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#set page(
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header: [Alles zur Mathe Klausur am 23.09.2024],
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paper: "a4",
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margin: auto
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#set text(lang: "de")
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#set heading(numbering: "1.")
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#outline()
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= Liste der relevanten Themen
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- Untersuchung von ganzrationalen Funktionen
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- Ableitungen
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- Extremwerte
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- Nullstellen
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- Wendestellen
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- Tangenten
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- allgemeines Wissen zu linearen Funktionen
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- …
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- #text(weight: "bold", [Funktionen mit Parametern]) (Funktionsscharen wie $f_a (x)=2x+a$) #highlight([Schwerpunkt der Klausur])
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- Untersuchungen
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- Modellieren
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- Exponentialfunktion (wie $f(x)=2 dot 2^x$)
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- Logarithmus
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- Lineares Gleichungssystem (erster Klausurteil)
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- hier kann man mit dem Gauss-Algorithmus arbeiten
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- Einsetzungs-, Gleichsetzungsverfahren
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- Ausklammern
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- Strecken, Stauchen, Verschieben und Drehen von Parabeln (für nen kleinen Teil der Klausur
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#pagebreak()
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= Untersuchungen von ganzrationalen Funktionen
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werden auch Polynomfunktionen genannt
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=== Ableitungen
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Ableitungen erfolgen wiefolgt:
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$
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f(x)&=2x^2 \
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f'(x)&=2 dot 2 + x^(2-1) \
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&=4x \
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f''(x)&=4 dot 1 + x^(1-1) \
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f''(x)&=4
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$
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=== Extremwerte
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H.p. = Hochpunkt\
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T.p. = Tiefpunkt
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$
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text(H.p.)&: f'(x_(0))=0 text("und" ) f''(x_(0))<0 \
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text(T.p.)&: f'(x_(0))=0 text( "und" ) f''(x_(0))>0
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$
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Also muss folgendes gemacht werden:
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$
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f(x)&=x^2 \
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f'(x)&=2x \
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f''(x)&=2&&|>0 \ \
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0&=2x&&|:2 \
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0&=x \
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\
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0& eq.not 2 &>0 \
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$
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Das heißt am y-Wert $0$ existiert ein Extremwert der noch berechnet werden müsste indem wir das Ergebniss der _ersten Ableitung_ wieder in die Funktion einsetzten, und es handelt sich um einen *Tiefpunkt* da der Wert größer als $0$ ist
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$
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f(0)=0^2=0
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$
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Der Tiefpunkt ist also am Punkt (0|0).
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#pagebreak()
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= Funktionen mit Parametern (Funktionsscharen)
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== Untersuchungen
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=== Nullstellen
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$
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f_a (x)=x^2-2a x +8a -16
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$
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a) Zeigen sie, dass alle Graphen durch den Punkt S(4|0) verlaufen
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_Wir setzen also $4$ für $x$ ein_:
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$
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f_a (4)&=4^2 -2a dot 4 +8a -16\
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&=16-8a +8a-16\
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&=0\
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&=> #text([alle Graphen verlaufen durch den Punkt S(4|0)])
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$
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Das heißt das wir das $x$ des Punktes einsetzen mussten und das $y$ des Punktes als Ergbeniss erhalten mussten!
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=== Extremwerte
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b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes der Graphen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
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$
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f_a (x)&=x^2-2a x +8a -16\
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f'_a (x)&=2x-2a\
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f''_a (x)&=2\ \
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0&=2x-2a &&|:2\
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0&=x-a &&|-a\
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a&=x
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$
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Da $f''(a)=2>0$ ist handelt es sich um einen *Tiefpunkt*).\
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Es gilt also#footnote([Hier wurde $x$ durch $a$ ersetzt]):
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$
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f(a)&=a^2-2a^2+8a-16\
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&=-a^2+8a-16
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$
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Also T($a$|$-a^2+8a-16$), hier ist $x=a$ und $f(a)=y$. |