habe "Untersuchungen von ganzrationalen Funktionen" hinzugefügt

und ein bisschen qol

klausurx.typ

@@ -26,24 +26,67 @@
 - [Ausklammern]
 - Strecken, Stauchen, Verschieben und Drehen von Parabeln (für nen kleinen Teil der Klausur
 
+#pagebreak()
+
 = Untersuchungen von ganzrationalen Funktionen
 
+werden auch Polynomfunktionen genannt
+
+=== Ableitungen
+
+Ableitungen erfolgen wiefolgt:
+
+$
+f(x)&=2x^2 \
+f'(x)&=2 dot 2 + x^(2-1) \
+&=4x \
+f''(x)&=4 dot 1 + x^(1-1) \
+f''(x)&=4
+$
+
+=== Extremwerte
+
+H.p. = Hochpunkt\
+T.p. = Tiefpunkt
+
+
+$
+text(H.p.)&: f'(x_(0))=0 text("und" ) f''(x_(0))<0 \
+text(T.p.)&: f'(x_(0))=0 text( "und" ) f''(x_(0))>0
+$
+
+Also muss folgendes gemacht werden:
+
+$
+f(x)&=x^2 \
+f'(x)&=2x \
+f''(x)&=2&&|>0 \ \
+0&=2x&&|:2 \
+0&=x \
+ \
+0& eq.not 2 &>0 \
+$
+Das heißt am y-Wert $0$ existiert ein Extremwert der noch berechnet werden müsste indem wir das Ergebniss der _ersten Ableitung_ wieder in die Funktion einsetzten, und es handelt sich um einen *Tiefpunkt* da der Wert größer als $0$ ist
+
+$
+f(0)=0^2=0
+$
+
+Der Tiefpunkt ist also am Punkt (0|0).
+
+#pagebreak()
 = Funktionen mit Parametern (Funktionsscharen)
 
 == Untersuchungen
 
 === Nullstellen
 
-Diese müssen für alle mögliche Werte von $a$ gelten.
-
-==== Beispiel
-
 $
 f_a (x)=x^2-2a x +8a -16
 $
 a) Zeigen sie, dass alle Graphen durch den Punkt S(4|0) verlaufen
 
-#text(style: "italic", [Wir setzen also $4$ für $x$ ein]):
+_Wir setzen also $4$ für $x$ ein_:
 $
 f_a (4)&=4^2 -2a dot 4 +8a -16\
 &=16-8a +8a-16\
@@ -52,6 +95,8 @@ f_a (4)&=4^2 -2a dot 4 +8a -16\
 $
 Das heißt das wir das $x$ des Punktes einsetzen mussten und das $y$ des Punktes als Ergbeniss erhalten mussten!
 
+=== Extremwerte
+
 b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes der Graphen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
 
 $
@@ -62,7 +107,7 @@ f''_a (x)&=2\ \
 0&=x-a &&|-a\
 a&=x
 $
-Da $f''(a)=2>0$ ist handelt es sich um einen #text(weight: "bold", [Tiefpunkt]).\
+Da $f''(a)=2>0$ ist handelt es sich um einen *Tiefpunkt*).\
 Es gilt also#footnote([Hier wurde $x$ durch $a$ ersetzt]):
 $
 f(a)&=a^2-2a^2+8a-16\