2024-09-21 13:48:32 +00:00
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#set page(
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header: [Alles zur Mathe Klausur am 23.09.2024],
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paper: "a4"
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#outline(title: [Inhalte])
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#set heading(numbering: "1.")
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= Liste der relevanten Themen
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- Untersuchung von ganzrationalen Funktionen
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- [Ableitungen]
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- [Extremwerte]
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- Nullstellen
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- Wendestellen
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- Tangenten
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- allgemeines Wissen zu linearen Funktionen
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- …
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- #text(weight: "bold", [Funktionen mit Parametern]) (Funktionsscharen wie $f_a (x)=2x+a$) #highlight([Schwerpunkt der Klausur])
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- Untersuchungen
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- Modellieren
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- Exponentialfunktion (wie $f(x)=2 dot 2^x$)
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- Logarithmus
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- Lineares Gleichungssystem (erster Klausurteil)
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- hier kann man mit dem Gauss-Algorithmus arbeiten
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- Einsetzungs-, Gleichsetzungsverfahren
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- [Ausklammern]
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- Strecken, Stauchen, Verschieben und Drehen von Parabeln (für nen kleinen Teil der Klausur
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= Untersuchungen von ganzrationalen Funktionen
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= Funktionen mit Parametern (Funktionsscharen)
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== Untersuchungen
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=== Nullstellen
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Diese müssen für alle mögliche Werte von $a$ gelten.
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==== Beispiel
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f_a (x)=x^2-2a x +8a -16
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a) Zeigen sie, dass alle Graphen durch den Punkt S(4|0) verlaufen
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#text(style: "italic", [Wir setzen also $4$ für $x$ ein]):
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$
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f_a (4)&=4^2 -2a dot 4 +8a -16\
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&=16-8a +8a-16\
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&=0\
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&=> #text([alle Graphen verlaufen durch den Punkt S(4|0)])
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$
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Das heißt das wir das $x$ des Punktes einsetzen mussten und das $y$ des Punktes als Ergbeniss erhalten mussten!
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b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes der Graphen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.
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2024-09-21 14:09:01 +00:00
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$
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f_a (x)&=x^2-2a x +8a -16\
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f'_a (x)&=2x-2a\
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f''_a (x)&=2\ \
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0&=2x-2a &&|:2\
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0&=x-a &&|-a\
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a&=x
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$
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Da $f''(a)=2>0$ ist handelt es sich um einen #text(weight: "bold", [Tiefpunkt]).\
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Es gilt also#footnote([Hier wurde $x$ durch $a$ ersetzt]):
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f(a)&=a^2-2a^2+8a-16\
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&=-a^2+8a-16
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$
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Also T($a$|$-a^2+8a-16$), hier ist $x=a$ und $f(a)=y$.
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